Fadenpendel

Fadenpendel

  • Physik Q2 (sp, 10.03.2016)

Exkurs: harmonische Schwingung I

Was versteht man unter einer harmonischen Schwingung?

  • Antwort 1: Die Ort-Zeit-Funktion x(t) einer harmonischen Schwingung ist eine trigonometrische Funktion (→ Sinus oder Cosinus)

Exkurs: harmonische Schwingung II

Was versteht man unter einer harmonischen Schwingung?

  • Antwort 2: Kennzeichen einer harmonischen Schwingung → lineare Rückstellkraft (→ hookesches Gesetz!): F = - k⋅x
    F = - k⋅x und F = m⋅am⋅a = - k⋅xmx''(t) = -kx(t)
    Differenzialgleichung → Abkürzung DGL
    ω02 = $\frac{k}{m}$ → DGL: x''(t) + ω02 x(t) = 0
    Einsetzen von x(t) = sin (ω0t)x(t) ist Lösung der DGL.

Bezeichnungen beim Fadenpendel I

Bezeichnungen beim Fadenpendel

Bezeichnungen beim Fadenpendel II

Bedeutung der Größen in der Abbildung

  • s ist ein Kreisbogen. Für den Kreisbogen s gilt: s = l ⋅ φ (wegen φ180° = sπ⋅r mit l=r)
  • l: Länge des Fadens (auch r)
  • Winkel φ: um diesen Winkel wird das Fadenpendel ausgelenkt.
  • Die Kraft G senkrecht nach unten ist die Gravitationskraft: G = mg

Bezeichnungen beim Fadenpendel III

Bedeutung der Größen in der Abbildung

  • Die Schwerkraft G wird zerlegt (Kräfteparallelogramm!) in eine zur Bahn tangentiale Komponente (in Richtung der Kreisbahn) Ft, sowie in eine
  • radiale Komponente in Richtung des Radius (= Faden): Fr
  • Der radialen Komponente entgegengerichtet ist die Spannkraft des Fadens (fehlt in der Zeichnung!)

Fadenpendel: Analyse I

  • Für die tangentiale Komponente Ft gilt:
    Ft = G ⋅ sin φ = m ⋅ g ⋅ sin φ       (1)
  • → rücktreibende Kraft Ft ist wg. der Sinusfunktion nicht proportional zur Auslenkung φ.
  • → Die Bewegung des Fadenpendels ist keine harmonische Schwingung!

Fadenpendel: Analyse II

  • Für kleine Winkel φ (φ ≤ 15°) können wir für den Quotienten sin φφ ansetzen:
    $$ \frac {sin \phi} { \phi} \approx 1$$
  • Beachte: Die Näherung gilt nur für φ im Bogenmaß!

Fadenpendel: Analyse III

  • Für kleine (!) Auslenkungen φ (φ ≤ 15°) gilt also:
    Ft ≈ - m⋅g⋅φ = - s ⋅ mgl = - s ⋅ k       (2)
  • Hier wurde $$ k = \frac {m \cdot g} { l} $$ gesetzt.
  • Dann ist $$ \frac {k} {m} = \frac {g} {l} $$

Fadenpendel: Analyse IV

  • Für kleine (!) Auslenkungen φ (φ ≤ 15°) gilt dann $$ \omega~^2 = \frac {g} {l} $$
  • mit ω = 2πf = $\frac {2\pi}{T}$ ergibt sich: $ T = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}} $
  • D. h.: beim Fadenpendel ist die Periodendauer T abhängig von der Fadenlänge l, jedoch unabhängig von der Masse m!

Quellen

  • Der Abschnitt zum Fadenpendel ist eine Zusammenfassung der Kursthemen Physik: Schwingungen und Wellen, Optik, S. 5 - 7.
  • Die Bild am Anfang stammt aus Wikipedia, die Abbildung mit den Bezeichnungen des Fadenpendels stammt von Walter Bislins.

Ende