Einführung: Diagonalmatrizen

Hinweis: Die Beispiele wurden mit dem CAS-Programm Maxima berechnet.

• Zwei "Diagonalmatrizen" D1 und D2

D1: diagmatrix(3,4.0);

 
                              [ 4.0   0    0  ]
                              [               ]
                              [  0   4.0   0  ]
                              [               ]
                              [  0    0   4.0 ]

D2: diagmatrix(3,7.0);

    

                              [ 7.0   0    0  ]
                              [               ]
                              [  0   7.0   0  ]
                              [               ]
                              [  0    0   7.0 ]

• Die Matrizenmultiplikation in Maxima: D1 . D2;

• Ergebnis:

          
  
                      [ 28.0  0.0   0.0  ]
                      [                  ]
                      [ 0.0   28.0  0.0  ]
                      [                  ]
                      [ 0.0   0.0   28.0 ]
  
  

• Das Invertieren einer Matrix: D3 = D1^-1

          
  
      D3 : invert(D1);
                      [ 0.25   0     0   ]
                      [                  ]
                      [  0    0.25   0   ]
                      [                  ]
                      [  0     0    0.25 ]
  
  

     
  
  invert(D2);
  
    [ 0.14285714285714         0                 0         ]
    [                                                      ]
    [        0          0.14285714285714         0         ]
    [                                                      ]
    [        0                 0          0.14285714285714 ]
  
  

• Der Test:

 
D3 . D1 = E

                             [ 1.0  0.0  0.0 ]
                             [               ]
                             [ 0.0  1.0  0.0 ]
                             [               ]
                             [ 0.0  0.0  1.0 ]

Aufgabe zum Viehhandel in China (mit Matrizen)

• Eine Matrix A1 zur Aufgabe "Viehhandel in China"

  A1: matrix([2.0,5.0,-13.0],[3.0,-9.0,3.0],[-5.0,6.0,8.0]);

       
  
                   [  2.0    5.0   - 13.0 ]
                   [                      ]
                   [  3.0   - 9.0   3.0   ]
                   [                      ]
                   [ - 5.0   6.0    8.0   ]
  

• Die invertierte Matrix A2 = A1^-1

  A2 : invert(A1);

 
                [ 3.75   4.916666666666666  4.25  ]
                [                                 ]
                [ 1.625  2.041666666666667  1.875 ]
                [                                 ]
                [ 1.125  1.541666666666667  1.375 ]

• Die rechte Seite v1 des LGS:

  v1: matrix([1000.0],[0.0],[-600.0]);

                                [ 1000.0  ]
                                [         ]
                                [   0.0   ]
                                [         ]
                                [ - 600.0 ]

• . . . und der Lösungsvektor:

A2 . v1;

                                [ 1200.0 ]
                                [        ]
                                [ 500.0  ]
                                [        ]
                                [ 300.0  ]  

"Besondere" Matrizen

• Neben der Nullmatrix N

   

                                 [ 0  0  0 ]
                                 [         ]
                                 [ 0  0  0 ]
                                 [         ]
                                 [ 0  0  0 ]

• ist vor allem die Einheitsmatrix E wichtig:

   

                                 [ 1  0  0 ]
                                 [         ]
                                 [ 0  1  0 ]
                                 [         ]
                                 [ 0  0  1 ]

• Diagonalmatrizen erhalten wir durch Multiplikation einer Zahl c ∈ ℜ mit der Einheitsmatrix: c * E = D

Im Beispiel oben: D1 = 4 * E bzw. D2 = 7 * E

• Aufgabe 1: Begründe, weshalb das Problem "Inverse einer Matrix finden" bei Diagonalmatrizen so einfach ist.

Bezeichnungsweise für Matrizen

• Matrizen sind erst mal nur ein Zahlenschema:

   

                                 [ a11  a12  a13 ]
                                 [               ]
                                 [ a21  a22  a23 ]
                                 [               ]
                                 [ a31  a32  a33 ]

Dabei gilt:

also bezeichnet a₃₁ die Zahl in der 3. Zeile und der ersten Spalte:

   

                                 [ |    a12  a13 ]
                                 [ |             ]
                                 [ |    a22  a23 ]
                                 [ |             ]
                                 [-|------------ ]

• Bis jetzt sind uns nur "einfache" Matrizen begegnet, da alle Matrizen quadratisch waren: man nennt eine Matrix A quadratisch, wenn sie genau so viele Zeilen wie Spalten hat. Das muss nicht sein:

   

                              [ 1.0  2.0  3.0 ]
                              [               ]
                              [ 4.0  5.0  6.0 ]

eine 2 x 3-Matrix (klar?).

So basteln wir uns auch Vektoren: das sind einfach 3 x 1-Matrizen (3D) bzw. 2 x 1-Matrizen (2D)

     

                               [ 1.0 ]                     
                               [     ]                      [ 1.0 ] 
                               [ 2.0 ]           bzw.       [     ]
                               [     ]                      [ 7.0 ]
                               [ 3.0 ]

Rechnen mit Matrizen

• Wir können Matrizen "vervielfachen" durch Multiplikation mit einer Zahl c ∈ ℜ: c ∗ A
  Dabei wird jedes Element a_ij (i für die Zeile, j für die Spalte) der Matrix A mit der Zahl c multipliziert: c ∗ A =

     

                             [ c*a11  c*a12  c*a13 ]
                             [                     ]
                             [ c*a21  c*a22  c*a23 ]
                             [                     ]
                             [ c*a31  c*a32  c*a33 ]

• Wir können zwei Matrizen A und B addieren, falls sie genau die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten haben:

   

                                       [ a11  a12 ]
                                   A = [          ]
                                       [ a21  a22 ]

 
                                       [ b11  b12 ]
                                   B = [          ]
                                       [ b21  b22 ]

Die Matrix C berechnet sich dann komponentenweise: c₁₂ = a₁₂ + b₁₂

   

                  [ c11  c12 ]      [ a11+b11    a12+b12 ]
              C = [          ]  =   [                    ]
                  [ c21  c22 ]      [ a21+b21    a22+b22 ]

• Aufgabe 2: Berechne die Summe der beiden Matrizen

   

                                [ 1.0  2.0 ]
                          M =   [          ]
                                [ 4.0  5.0 ]

 
                                [ 4.0   1.0  ]
                          N =   [            ]
                                [ 0.5  - 2.0 ]

• Und dann gibt es da noch die Multiplikation: Damit wir eine Matrix M mit einer Matrix N multiplizieren können, muss die Anzahl der Spalten von M mit der Anzahl der Zeilen von N übereinstimmen, Beispiel: M * N =

   

                              [ 5.0   - 3.0 ]
                              [             ]
                              [ 18.5  - 6.0 ]

Im Beispiel:

5.0 = 1.0 * 4.0 + 2.0 * 0.5 = 4 + 1

oder:

-6.0 = 4.0 * 1.0 + 5.0 * (-2.0) = 4 - 10

Also nach dem Schema:

   

                                [ -------- ]
                          M =   [          ]
                                [ 4.0  5.0 ]

 
                                [ |    1.0 ]
                          N =   [ |        ]
                                [ |  - 2.0 ]

wenn wir c₁₁ = 5.0 berechnen.

Das Element c₁₁ steht am Kreuzungspunkt zwischen der ersten Zeile von M und der ersten Spalte von N. Dann gilt:

d. h. in der Matrix M gehen wir in der ersten Zeile entlang, in der Matrix N dagegen in der ersten Spalte. Das klingt nicht nur kompliziert, es ist kompliziert!