Einführung: Stehende Wellen

  • Physik Q2

  • sp, 2018-05-22

Physik Q2: Stehende Wellen I

  • Gitarrenseite: an beiden Enden ein festes Ende → Folgerung für Ausbreitung der Welle?

  • Beispiel: Länge l = 65 cm = 0,65 m.

  • Auslenkung y an der Stelle x=0 cm bzw. x=65 cm ist y=0 cm (→ Knoten).

Stehende Wellen II

  • Saite in der Mitte anschlagen → es breitet sich je eine Welle nach links & nach rechts aus

  • Was passiert am Ende? → Die Wellen werden reflektiert!

  • Dann begegnen sich 2 Wellen gleicher Amplitude und gleicher Wellenlänge (!)

Stehende Wellen III

  • Was passiert? → Überlagerung der beiden Wellen

  • Man bezeichnet diese Überlagerung als stehende Welle

  • Wellenlänge λ der stehenden Welle λ = 2·L = 2·0,65m = 1,30m (Warum?)

Stehende Wellen IV

  • Mit c=λ·f ergibt sich über die Schallgeschwindigkeit
    c = 343 m ⁄ s für die Frequenz f = 263,85 Hz.

  • Problem: Der Ton A hat die Frequenz fA = 110 Hz.

  • Lösung?

Stehende Wellen V

  • Verwende statt der Schallgeschwindigkeit die

  • Spannung T (= Kraft!) der Saite sowie die

  • lineare Dichte μ

  • → Grundfrequenz einer Saite (Gleichung 1): $$ f_1 = \sqrt {\frac {T} {\mu} } \cdot \frac {1} {2L} $$

Beispiel 1

Mit dem Ausdruck (2) für die lineare Dichte μ $$ \mu = \frac {m} {L} $$ ergibt sich für die A-Saite (fA = 110 Hz) mit L = 0,65 m und
m = 2,86 g für μ = 4,4 x 10-3 kg ⁄ m.

  • Eingesetzt in die Gleichung (1) erhalten wir für die Spannung T ≈ 90 N. Das macht bei 6 Saiten übrigens ca. 500 N!

Beispiel 2

  • Greife die A-Saite im 5. Bund. → L wird verkürzt auf ¾ der ursprünglichen Länge → 0,75 · 0,65 m = 0,4875 m.

  • Mit μ = 4,4 x 10-3 kg⁄m und T ≈ 90 N ergibt sich die Grundfrequenz f ≈ 146,69 Hz.

  • Das entspricht dem Ton d . . .

Knoten auf einer Saite

  • Eine stehende Welle kann sich auf einer Saite auch ausbilden, wenn wir drei (, vier, fünf) Knoten auf die Saite verteilen.

  • Es ergeben sich die sog. Eigenfrequenzen f mit fn = n · f1 (f1: Grundfrequenz) und $$ f_1 = \frac {c} {2L} $$

  • Für die Wellenlänge λn mit n=1, 2, 3, … gilt: $$ \lambda_1 = \frac {2L} {n} $$

Beispiel 3

  • n=1: Grundton der Saite. → A-Saite → f = 110 Hz, λ = 2 · 0,65 m = 1,3 m.

  • erste Eigenfrequenz n=2: ½ · 0,65 m = 0,325 m → 12. Bund (Flageolet-Ton) → λ2 = 0,65 m, f2 = 2 · f1 = 220 Hz.

  • zweite Eigenfrequenz n=3 → Zwischenfrequenz → Ton e'

  • dritte Eigenfrequenz n=4: λ4 = 0,325 m, da L = ¼ · 0,65 m = 0,1625 m;
    Eigenfrequenz f4 = 4 · 110 Hz = 440 Hz (→ Kammerton a'!)

Ende