(%i1) "Mathe Q1, Musterklausur vom 23.09.2011"$
(%i2) "Nr. 1"$
(%i3) "a)"$
(%i4) integrate( x,x,k,4*k);
2
15 k
(%o4) -----
2
(%i5) ev(%,numer);
2
(%o5) 7.5 k
(%i6) solve(7.5 * k^2 = 480,k);
rat: replaced 7.5 by 15/2 = 7.5
(%o6) [k = - 8, k = 8]
(%i7) ev(%,numer);
(%o7) [k = - 8, k = 8]
(%i8) "Antwort: fuer k = - 8, k = 8"$
(%i9) "b)"$
(%i10) integrate( x^3-x,x,0,k);
4 2
k - 2 k
(%o10) ---------
4
(%i11) solve(0.25*k^4-0.5*k^2 -12 = 0,k);
3/2 3/2
(%o11) [k = - 2 , k = 2 , k = - sqrt(6) %i, k = sqrt(6) %i]
(%i12) ev(%,numer);
(%o12) [k = - 2.828427124746191, k = 2.828427124746191, ...]
(%i13) "Antwort: fuer k = - 2^3/2, k = 2^3/2"$
(%i14) "Nr. 2"$
(%i15) "a)"$
(%i16) integrate(1/x^2,x);
1
(%o16) - -
x
(%i17) "F(x) := -1/x + c"$
(%i18) F(x) := -1/x + 1;
- 1
(%o18) F(x) := --- + 1
x
(%i19) F(1);
(%o19) 0
(%i20) "b)"$
(%i21) integrate(cos(x) - x,x);
2
x
(%o21) sin(x) - --
2
(%i22) G(x) := sin(x) - x^2/2;
2
x
(%o22) G(x) := sin(x) - --
2
(%i23) G(%pi);
2
%pi
(%o23) - ----
2
(%i24) "G(%pi) = - %pi^2/2 => c = 0"$
(%i25) "Nr. 3"$
(%i26) solve(x^2 - 2*x -(-x^2 + 6*x) = 0,x);
(%o26) [x = 0, x = 4]
(%i27) ev(%,numer);
(%o27) [x = 0, x = 4]
(%i28) f(x) := x^2 - 2*x;
2
(%o28) f(x) := x - 2 x
(%i29) g(x) := -x^2 + 6*x;
2
(%o29) g(x) := - x + 6 x
(%i30) g(2);
(%o30) 8
(%i31) f(2);
(%o31) 0
(%i32) "Also ist g(x) > f(x) in I = [0; 4]"$
(%i33) (-x^2 + 6*x)- (x^2 - 2*x);
2
(%o33) 8 x - 2 x
(%i34) integrate(8*x - 2*x^2,x);
3
2 2 x
(%o34) 4 x - ----
3
(%i35) integrate( (-x^2 + 6*x)- (x^2 - 2*x),x,0,4);
64
(%o35) --
3
(%i36) ev(%,numer);
(%o36) 21.33333333333333
(%i37) "Flaeche = 64/3 FE"$
(%i38) "Nr. 4"$
(%i39) integrate( a*x^2 + b*x + c,x,0,1);
6 c + 3 b + 2 a
(%o39) ---------------
6
(%i40) ev(%,numer);
(%o40) 0.16666666666667 (6 c + 3 b + 2 a)
(%i41) "Setze a, b, c so, dass gilt: 6 c + 3 b + 2 a = 8"$
(%i42) "Beispiel a = 4, b = 0, c = 0 oder a = 1 , b = 0, c = 1"$
(%i43) "Nr. 5"$
(%i44) "a) nicht hier . . ."$
(%i45) "b)"$
(%i46) integrate(k * x^3,x);
4
k x
(%o46) ----
4
(%i47) "c)"$
(%i48) "I_1(x) = 0.25 * %pi * x^4 von 1 bis x"$
(%i49) "I_1(x) = %pi/4 * x^4 - %pi/4 = %pi/4 * (x^4 - 1)"$
(%i50) "Nr. 6"$
(%i51) f(x) := x^3 - 27*x;
3
(%o51) f(x) := x - 27 x
(%i52) diff(x^3 - 27*x,x);
2
(%o52) 3 x - 27
(%i53) solve(3 * x^2 - 27 = 0,x);
(%o53) [x = - 3, x = 3]
(%i54) ev(%,numer);
(%o54) [x = - 3, x = 3]
(%i55) f(-3);
(%o55) 54
(%i56) f(3);
(%o56) - 54
(%i57) "g geht von H(-3/54) bis T(3/-54)"$
(%i58) m : (- 54 - 54)/(3 - (-3));
(%o58) - 18
(%i59) "g(x) := -18*x"$
(%i60) "Betrachte wg. Symmetrie I=[0,3]"$
(%i61) g(1);
(%o61) 5
(%i62) f(1);
(%o62) - 26
(%i63) "also g(x) > f(x) in I=[0,3]"$
(%i64) "Ansatz: g(x) - f(x) mit a=0, b=3"$
(%i65) integrate( (-18*x) - (x^3 - 27*x),x,0,3);
81
(%o65) --
4
(%i66) ev(%,numer);
(%o66) 20.25
(%i67) "=> A = 2 * 81/4 = 81/2 = 40,5"$